joyfromx | Education

Telegram-канал joyfromx - Удовольствие от Х

4383

Второй шанс познакомиться с МАТЕМАТИКОЙ. Рассказываем о сложной науке увлекательно, доступно и с юмором. Мы в вк: https://vk.com/math_pleasure По поводу сотрудничества и рекламы - @danilzamaletdinov От создателей @theoryofgames

Subscribe to a channel

Удовольствие от Х

​​Парадокс Паррондо

Хуан Мануэль Родригес Паррондо (р. 1964)

В конце 1990-х гг. испанский физик Хуан Паррондо показал, как, играя по­очередно в две игры, в каждой из которых гарантирован проигрыш, можно заведомо выиграть и обогатиться. Научно-популярная писательница Сандра Блэйксли написала, что «то, что открыл Паррондо, кажется новым законом природы, который может помочь объяснить, среди всего прочего, как из пер­вичного бульона возникла жизнь, почему популярность президента Клинтона выросла после того как он попал в секс-скандал, и почему инвестирование в падающие акции может иногда приводить к большему приросту капитала».
Ошеломляющий парадокс имеет различные приложения: от динамики роста народонаселения до оценки финансовых рисков.

Чтобы понять этот парадокс, представьте, что вы играете в две азартные игры с подбрасыванием несимметричной монеты. Вероятность выигрыша в игре А меньше 50% и выражается формулой Р¹ = 0,5 - х. Если вы выиграе­те, то получите 1 долл., в противном случае вы потеряете 1 долл. В игре В вы проверяете, не вырос ли ваш выигрыш на величину, кратную 3. Если нет, то вы подбрасываете другую несимметричную монету с вероятностью выигрыша
Р² = (3/4 - x). Если да, то вы подбросываете третью несимметричную монету с вероятностью выигрыша
Р³ = (1/10 — х).

Играя по отдельности либо в игру А, либо в игру В, например при x = 0,005, в долгосрочной перспективе вы гаран­тированно проиграте. Однако, если вы будете играть в них поочередно (или даже если вы случайно будете переключаться между этими играми), ваш вы­игрыш в конечном итоге превзойдет самые смелые ожидания! Обратите вни­мание, что результат игры А влияет на игру В в течение чередования этих игр.

Впервые Паррондо придумал свою парадоксальную игру в 1996 г. Инженер в области биомедицины Дерек Эббот из Университета Аделаиды, Австралия, придумал термин парадокс Паррондо, после чего в 1999 г. Эббот опубликовал свою работу, в которой была произведена проверка противоречащего интуи­ции результата, полученного самим Паррондо.

Читать полностью…

Удовольствие от Х

Решение игры в шашки

На сегодня мы подготовили для вас две интересные публикации.

В 1⃣ из них мы расскажем о решении игры в шашки.

Почти каждый, кто играл в "крестики-нолики", знает, что игра неизбежно сводится к ничьей, если сталкиваются два опытных игрока, не совершающие ошибок.

Но мало кто в курсе, что шашки, в том случае если в них играют абсолют­но правильно, являются безвыигрышной игрой.
Об этом открытии и пойдёт речь в нашем материале:

Читать полностью…

Удовольствие от Х

​​Гипотеза Пуанкаре

Анри Пуанкаре (1854-1912),
Григорий Перельман (р. 1966)

Гипотеза Пуанкаре, выдвинутая в 1904 г. французским математиком Анри Пуанкаре, касается топологии - раздела математики, связанного с изучени­ем форм и их взаимосвязей. В 2000 г. Математический институт Клэя пред­ложил приз в 1 млн долларов за доказательство этой гипотезы, которую можно достаточно точно наглядно представить себе с помощью апельсинов и бубли­ков.

Представьте себе петлю из струны, наброшенную на апельсин. В теории, мы можем медленно сжать петлю в точку, не разрывая ни струны, ни апель­сина, таким образом, чтобы петля снялась с поверхности апельсина. Однако если струна будет обернута вокруг бублика через его отверстие, то нельзя бу­дет стянуть струну в точку, не разорвав струну или сам бублик. Поверхность апельсина называется односвязной, а поверхность бублика - неодносвязной.

Пуанкаре понимал, что двумерная сферическая оболочка (например, сфера, моделирующая поверхность апельсина) односвязна, и он спросил, обладает ли трехмерная сфера (множество точек в четырехмерном пространстве, кото­рые находятся на одинаковом расстоянии от одиночной точки) теми же свой­ствами.

И наконец, в 2002 и 2003 гг., российский математик Григорий Перельман доказал эту гипотезу. Как ни странно, Перельман не проявил большого инте­реса к получению премии Института Клэя и просто выложил свои решения в Интернете вместо того, чтобы опубликовать их в каком-либо ведущем матема­тическом журнале. В 2006 г. Перельман был удостоен престижной Филдсовской премии за свое решение, но он отказался от награды, заявив, что она для него была «совершенно неуместной».

Для Перельмана «не требуется никако­го другого признания», если его доказательство было правильным. Журнал Science в 2006 г. сообщил, что «доказательство Перельмана коренным образом изменило два различных раздела математики. Во-первых, решена проблема, которая более века была камнем преткновения в самой центральной области
топологии... Во-вторых, эта работа привела к гораздо более обширным ре­зультатам... она стала своеобразной «периодической таблицей», которая вно­сит ясность в изучение трехмерных пространств, во многом подобно тому, как в свое время таблица Менделеева внесла ясность в изучение химии».

Читать полностью…

Удовольствие от Х

​​Код Грея

Фрэнк Грей (1887-1969),
Эмиль Бодо (1845-1903)

Код Грея - это система счисления, в которой два соседних значения различа­ются только в одном разряде и только на единицу. Например, 182 и 172 могут быть смежными числами в десятичном коде Грея (средние цифры отличаются
на 1), а 182 и 162 (цифры отличаются не на 1), а также 182 и 173 (числа от­личаются более чем в одном разряде) не будут являться числами в коде Грея.

Один простой, известный и полезный код Грея называется рефлексным (от­раженным) двоичным кодом Грея и состоит из одних только нулей и единиц.
Мартин Гарднер объясняет, как преобразовать стандартное двоичное число в его рефлексный эквивалент в коде Грея. Сначала мы проверяем самую правую цифру, а затем по очереди рассматриваем каждую следующую. Если следую­щая цифра слева равна 0, то оставляем исходную цифру прежней. Если следу­ющая цифра слева 1, то исходную цифру надо изменить. (Предполагается, что слева от крайней левой цифры стоит 0 и, следовательно, она будет оставать­ся неизменной.) Например, применение этого метода преобразования к чис­лу 110111 в коде Грея дает число 101100. Мы можем затем преобразовать все
стандартные двоичные числа для создания последовательности в коде Грея, которая начинается так: 0, 1, 11, 10, 110, 111, 101, 100, 1100, 1101, 1111, ...

Рефлексный двоичный код был первоначально разработан для того, что­бы облегчить предотвращение получения ошибочных выходных сигналов от электромеханических переключателей. В случае применения кода Грея не­
большое изменение в положении будет влиять только на один бит. Сегодня коды Грея используются для облегчения коррекции ошибок в цифровой свя­зи, например, при передаче телевизионных сигналов, а также для снижения чувствительности систем передачи информации к шуму. Французский инже­нер Эмиль Бодо использовал коды Грея в телеграфии в 1878 г.

Этот код был назван в честь физика-исследователя Фрэнка Грея, работав­шего в лаборатории Белла, который широко использовал эти коды в своих технических патентах. Грей изобрел метод для преобразования аналоговых сигналов в двоичный код Грея с использованием электронных ламп. Сегодня коды Грея также имеют важные приложения в теории графов и теории чисел.

Читать полностью…

Удовольствие от Х

​​Теорема Байеса

Томас Байес (ок. 1702-1761)

Теорема Байеса, сформулированная английским математиком и пресвите­рианским священником Томасом Байесом, играет фундаментальную роль в
науке. Ее можно представить в виде простой математической формулы, ис­пользуемой для вычисления условных вероятностей. Условной вероятно­стью Р(А|В) называется вероятность некоторого события А при условии того, что произошло некое событие В.
Согласно теореме Байеса,
Р(А|В) = [Р(В|А) × Р(А)]/Р(В).
Здесь Р(А) - априорная вероятность события А, т. е. вероятность события в том случае, когда о событии ничего не известно;
Р(В|А) — ус­ловная вероятность при учете, что произошло событие А;
Р(В) - априорная вероятность события В.

Представим, что у нас есть два ящика. В ящике №1 лежит 10 мячей для гольфа и 30 бильярдных шаров. В ящике №2 бильярдных шаров и мячей для гольфа поровну, по 20 каждого вида. Вы выбираете случайный ящик и доста­ете оттуда один предмет. Предполагается, что вероятность вытащить любой шар или мяч одинакова.
Вы вытаскиваете бильярдный шар. Какова вероят­ность того, что выбранный вами ящик был ящиком №1? Другими словами, какова вероятность того, что объект вынут из ящика №1, если это бильярд­ный шар?

Пусть событие А соответствует выбору ящика №1,
а событие В - доставанию бильярдного шара.
Мы хотим вычислить Р(А|В). Вероятность Р(А) составляет 0.5, или 50%.
Р(В) - вероятность достать бильярдный шар, если неизвестно, какая коробка выбрана. Она вычисляется как сумма вероятностей доставания бильярдного шара из каждого ящика, умноженных на вероятность выбора этого ящика. Вероятность достать бильярдный шар из ящика №1 равна 0.75.
Вероятность достать такой шар из ящика №2 равна 0.5. Суммарная вероят­ность достать бильярдный шар из неизвестного ящика, таким образом, равна
0.75 × 0.5 + 0.5 × 0.5 = 0.625.
Р(В|А), или вероятность достать бильярдный шар из ящика №1, равна 0.75. Используя формулу Байеса, получаем, что вероят­ность того, что шар извлечен из ящика №1,
т. е. Р(А|В), равна 0.6.

Читать полностью…

Удовольствие от Х

Архимед, песчинки и быки

Вкратце: Архимеда не зря часто называют вели­чайшим математиком и ученым античности и относят к четырем величайшим  математикам, когда-либо жившим на Земле.
В данном материале мы расскажем о некоторых знаменитых задачах и вычислениях, сделанных Архимедом.

Время чтения - 1⃣ минута.

Читать полностью…

Удовольствие от Х

Во 2⃣ части расскажем о знаменитой табличке "Плимптон 322", а также о папирусе Ринда, созданном писцом Ахмесом, первым человеком в истории математики, чьё имя дошло до наших дней.

Читать полностью…

Удовольствие от Х

Математика и животные

Математика - наука древняя, но у некоторых животных склонность к ней начала проявляться задолго до того, как человек произвёл первые арифметические действия или описал первые геометрические фигуры.

Так, например, у муравьёв, появившихся на нашей планете около 150 млн. лет назад, наблюдается умение считать собственные шаги, а некоторые приматы способны считать до 6 и даже до 7.

Об этом, а также о том, как связаны простые числа и цикл жизни цикад - в нашем сегодняшнем материале.

Время чтения - 5⃣ минут.

Читать полностью…

Удовольствие от Х

​​Варианты парадокса Рассела

Недавно мы рассказывали вам о парадоксе Рассела, касающийся "обычных" и "необычного" множеств.

Сегодня предлагаем вам познакомиться с другими вариантами данного парадокса: парадокс лжеца, парадокс брадобрея и др.

Читать полностью…

Удовольствие от Х

​​Великая теорема Ферма

Помните со школы теорему Пифагора? Она гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (x^2 + y^2 = z^2). Самая известная теорема Пьера Ферма говорит о том, что это же выражение не имеет натуральных решений x, y и z, если в степенях находится любое натуральное число больше двух. 

Как писал сам Ферма: «…невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него». Проблема в том, что Ферма написал это в 1637 году, а недоказанной она оставалась еще долгие годы. И только в 1995 году (спустя 358 лет) теорема была доказана Эндрю Уайлсом. 

Читать полностью…

Удовольствие от Х

​​Проблема четырех красок 

Проблема четырех красок – это математическая задача, которая была сформулирована в 1852 году Фрэнсисом Гутри, который в то время пытался раскрасить карту графств Англии (тогда интернета еще не было, так что делать было особо нечего). Он обнаружил кое-что интересное – нужно было всего 4 цвета, чтобы любые две области, имеющие общую границу, были раскрашены в разные цвета. Гутри заинтересовался, работает ли это правило для любой другой карты, и этот вопрос стал математической задачей, которую многие годы не могли решить. 

Только в 1976 году эта задача была решена Кеннетом Аппелем и Вольфгангом Хакеном. Для доказательства был применен компьютер, и оно оказалось достаточно сложным. Но было доказано, что абсолютно любую карту (например, политическую карту мира) можно раскрасить, используя только 4 цвета так, чтобы ни одно государство не соприкасалось с другим, раскрашенным в такой же цвет. 

Читать полностью…

Удовольствие от Х

Мне часто пишут в личку с просьбой помочь решить ту или иную задачу или разобраться со сложной темой по математике.
Особенно сообщения участились в преддверии зимней сессии. :)

Естественно, отвечать всем не представляется возможным.
Поэтому хотел бы порекомендовать вам один ресурс - http://mathprofi.ru
Идеальный вариант, чтобы разобраться с непонятной темой или же подготовиться к экзамену в краткие сроки и сдать "хотя бы на троечку".

Сразу скажу, что это не реклама. :)
Многие из вас, наверное, и так знают этот сайт. Но надеюсь, что для кого-то наш совет действительно окажется полезным.

Читать полностью…

Удовольствие от Х

Магический квадрат

Вкратце: что такое магический квадрат; несколько методов построения магических квадратов.

Время чтения - 3⃣ минуты.

Читать полностью…

Удовольствие от Х

О пользе теории вероятностей

Забавная история, которая показывает полезность применения теории вероятностей в жизни.

Время чтения - 1⃣ минута

Читать полностью…

Удовольствие от Х

Палиндроматика

Многие знают, что такое палиндромы - это удивительные фразы, которые читаются одинаково и слева направо, и справа налево.

Палиндромы есть и в математике. В нашем сегодняшнем материале примеры симметричных формул. ⬇️

Читать полностью…

Удовольствие от Х

​​Телесериал «4исла»

Николас Фалаччи (р. 1959)
Шерил Хьютон (р. 1957)

Телесериал «4исла» (в оригинале NUMB3RS) - это американское телевизион­ное шоу, созданное супружеской командой сценаристов Николасом Фалаччи и Шерил Хьютон. Сюжет этой криминальной драмы разворачивается вокруг талантливого математика, Чарли Эппса, который помогает ФБР в раскрытии преступлений с помощью своих гениальных математических способностей.

Может показаться, что обычное телешоу не имеет никакого отношения к математике и не может стоять рядом с такими известными понятиями, как Великая теорема Ферма или ра­боты Евклида. Но все же «4исла» является достаточно важной темой, посколь­ку стал первым весьма популярным еженедельным сериалом, сюжет которого вращался вокруг математики, в котором имелась команда консультантов по математике и который также получал критические замечания от математи­ков. Формулы, которые показывались в этом телешоу, были реальными и под­ходили к соответствующим сериям. Математическое содержание шоу «4исла» варьировалось от криптоанализа, теории вероятностей и Фурье-анализа до баейсовского анализа и основ геометрии.

Шоу «4исла» доказало свою значимость также потому, что создавало боль­шие возможности для обучения студентов. Например, учителя математики использовали уроки телесериала на своих занятиях, а в 2007 г. сам телесе­риал «4исла» и его создатели получили награду Национального комитета по науке за свой вклад в повышение научной и математической грамотности на­селения. В сериале упоминаются такие известные математики, как Архимед, Пал Эрдёш, Пьер-Симон Лаплас, Джон фон Нейман, Бернхард Риман, Стивен Вольфрам. Кендрик Фрейзер пишет: «Наука, разум и рациональное мышление играют в этих исто­риях столь заметную роль, что Американская ассоциация содействия разви­тию науки в 2006 г. посвятила целых полдня своего ежегодного симпозиума роли этой программы в изменении общественного восприятия математики».

Серии телешоу начинаются со слов, посвященных математике: «Мы все используем математику повсюду. Для того чтобы сказать, который час, для предсказания погоды, для подсчета денег... Математика — это больше, чем просто формулы и уравнения. Математика — это больше, чем просто цифры.
Это - логика. Это - рациональность. Она использует разум для решения самых больших известных нам загадок».

Читать полностью…

Удовольствие от Х

​​Последняя теорема Ферма

Пьер де Ферма (1601-1665),
Эндрю Джон Уайлс (род. 1953),
Иоганн Дирихле (1805-1859),
Габриель Ламе (1795-1870)

В начале XVII в. французским юристом Пьером де Ферма был совершен ряд блестящих открытий в области теории чисел. Хотя Ферма был всего лишь любителем, а не профессиональным математиком, он сформулировал множе­ство важных математических проблем. В их число входит и знаменитая По­следняя (или Великая) теорема Ферма, решение которой было найдено лишь в 1994 г. англо-американским математиком Эндрю Уайлсом. Уайлс потратил на поиски доказательства семь лет своей жизни.
Последняя теорема Ферма породила больше попыток ее доказать, чем какая бы то ни было другая тео­рема математики.

Эта теорема гласит, что уравнение х^n + у^n = z^n не имеет ненулевых целочис­ленных решений х, у и z при n > 2. Ферма сформулировал эту теорему в 1637 г., сделав пометку на странице принадлежащем ему экземпляре «Арифметики» Диофанта: «Я нашел поистине чудесное доказательство данного утверждения, но поля этой книги слишком узки, чтобы его вместить». Сейчас считается, что Ферма не располагал подобным доказательством.

Ферма был не самым обычным юристом. Наряду с Блезом Паскалем он считается основателем теории вероятностей. Как соавтора аналитической геометрии вместе с Рене Декартом его относят к одним из первых современных математиков.

Однажды Ферма заинтересовал­ся вопросом о том, возможно ли найти такой прямоугольный треугольник, в котором и длина гипотенузы, и сумма длин катетов будут квадратами целых чисел. Сейчас нам известно, что три наименьших числа, удовлетворяющих этому условию, довольно велики:
это 4 565 486 027 761,
1 061 652 293 520 и
4 687 298 610 289.

Теореме Ферма посвящен огромный объем научных исследований. Работы над ней привели к возникновению совершенно новых математических мето­дов. В 1832 г. Иоганн Дирихле опубликовал доказательство последней теоре­мы Ферма для случая n=14. Габриель Ламе в 1839 г. доказал ее для случая n=7.

Амир Аксел пишет, что последняя теорема Ферма «вероятно являлась труднейшей в мире математической загадкой. Простая, элегантная и, как ка­залось, совершенно не имеющая доказательства, последняя теорема Ферма за­нимала воображение как любителей, так и профессиональных математиков на протяжении более трехсот лет. Для одних она оказалась чудесной страстью. Для других она стала наваждением, ведущим по пути лжи, обмана и безумия ».

Читать полностью…

Удовольствие от Х

​​Константа Бруна

Вигго Брун (1885-1978)

Мартин Гарднер пишет: «В теории чисел нет раздела, более насыщенного за­гадками, чем теория простых чисел: этих раздражающих, непослушных целых чисел, которые отказываются делиться на какое-либо целое число, кроме самих себя и 1. Некоторые вопросы, касающиеся простых чисел, настолько просто формулируются, что понятны даже ребенку, и вместе с тем они настолько глу­боки и далеки от решения, что многие математики теперь подозревают, что они
не имеют решения... Возможно, теория чисел, как квантовая механика, имеет
свой собственный принцип неопределенности, который делает необходимым, в
некоторых областях, отказ от точности в пользу вероятностных формулировок».

Простые числа часто встречаются в виде пар последовательных нечетных чисел, таких как 3 и 5. В 2008 г. наибольшие из известных простые числа-близнецы имели более 58 000 цифр в каждом. Считается, что простых чисел-близнецов бесконечно много, однако этот факт еще не доказан. Возможно, потому, что гипотеза о бесконечности количества простых чисел-близнецов является одной из основных неразрешенных проблем, в фильме «У зеркала два лица» есть роль профессора математики в исполнении Джеффа Бриджеса, который объясняет эту гипотезу Барбре Стрейзанд.

В 1919 г. норвежский математик Вигго Брун доказал, что если сложить все обратные значения последовательных простых чисел-близнецов, то сумма
будет сходиться к конкретному числовому значению, которое теперь называ­ется константой Бруна: В = (1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + ... ≈ 1,902160... При том что сумма обратных значений всех простых чисел расходится (равна бес­конечности), тот факт, что сумма обратных значений простых чисел-близне­цов сходится, т. е. стремится к определенному конечному значению, весьма интересен. Это, в свою очередь, означает наличие относительного «дефицита» простых чисел-близнецов, несмотря на бесконечность их множества. В настоя­щее время в нескольких университетах продолжаются поиски простых чисел-близнецов, а также поиски более точных значений константы Бруна. Кроме первой пары, все пары простых чисел-близнецов имеют вид (6n - 1, 6n + 1).

Как заметил Эндрю Гранвиль, «простые числа являются самыми основ­ными объектами в математике. Они также являются одними из самых зага­дочных, ибо после вековых поисков структура множества простых чисел по-прежнему не очень хорошо понятна...»

Читать полностью…

Удовольствие от Х

​​Теорема Джонсона

Роджер Артур Джонсон (1890-1954)

Теорема Джонсона утверждает, что если три окружности одного радиуса про­ходят через одну точку, то оставшиеся три точки их пересечений должны ле­жать на другой окружности того же радиуса, что и три исходных. Теорема примечательна не только своей простотой, но и тем, что она, по-видимому, не была «открыта» до 1916 г., пока американский геометр Роджер Джонсон не сформулировал ее. Дэвид Уэллс пишет, что эта относительно недавняя на­ходка в истории математики «свидетельствует, что существует богатство гео­метрических свойств, которые еще лежат скрытыми от взора и ждут своего открытия».

Джонсон является автором книги «Современная геометрия Джонсона: Эле­ментарный трактат о геометрии треугольника и окружности». Он получил докторскую степень в Гарварде в 1913 г., и с 1947 по 1952 г. он занимал пост
декана математического факультета Бруклинского филиала Хантер-колледжа, который позже стал Бруклинским колледжем.
Мысль о том, что даже в наши дни можно получить новый, простой и од­новременно глубокий математический результат, не столь надумана, как ка­жется.

Например, математик Станислав Улам с середины до конца 1900-х гг., казалось, был переполнен простыми, но новыми идеями, которые быстро при­вели его к новым разделам математики, включающим теорию клеточных ав­томатов и метод Монте-Карло. Другим примером простоты и глубины идеи является мозаика Пенроуза — орнамент из плиток, открытый в 1973 г. Род­жером Пенроузом. Эти плитки могут полностью покрывать бесконечную по­верхность орнаментом, который является никогда не повторяющимся (апери­одическим). Апериодические орнаменты сначала рассматривались лишь как математический курьез, но позже были обнаружены физические материалы, в которых атомы были расположены по той же схеме, что и плитки Пенроуза, и теперь эта область играет важную роль в химии и физике. Также можно было бы обратить внимание на замысловатое и поразительно красивое поведение множества Мандельброта, этого сложного фрактального объекта, описывае­мого простой формулой z = z^2 + с и открытого лишь в конце XX в.

Читать полностью…

Удовольствие от Х

Формула Сабита для дружественных чисел

Вкратце: рассказываем, что такое дружественные числа; какова наименьшая пара дружественных чисел; по какой формуле можно находить подобные числа.

Время чтения - 1⃣ минута

Читать полностью…

Удовольствие от Х

​​Всем привет! С сегодняшнего дня мы запускаем наш социальный проект - @Left1080 ! Мы хотим показать вам на примере одного из создаделей данного проекта, что все невозможное возможно! Наша цель: закрыть ипотеку за 3 года! Будут предоставляться пруфы, кейсы к каждому направлению, в котором будет работать наш главный герой, источники информации и совсем немного жизненных историй! Жми на кнопку, если готов что-то изменить в своей жизни👊🏻

Читать полностью…

Удовольствие от Х

На сегодня мы подготовили для вас познавательный материал про зачатки математического знания у древних цивилизаций.

В 1⃣ части речь пойдёт о кости Ишанго и о кипу древних инков.

Читать полностью…

Удовольствие от Х

Также администрация канала от всей души поздравляет вас с наступающим, а для кого-то уже наступившим, Новым годом! ✨💫
Пусть в новом году все ваши мечты сбываются, а мы постараемся и дальше радовать вас интересными и познавательными публикациями.

Читать полностью…

Удовольствие от Х

​​Парадокс Рассела

Данный парадокс, открытый в 1901 году Бертраном Расселом, демонстрирует противоречивость логической системы Фреге, являвшейся ранней попыткой формализацией наивной теории множеств Георга Кантора.

На неформальном языке парадокс можно описать следующим образом. Условимся называть множество «обычным», если оно не является своим собственным элементом. Например, множество всех людей является «обычным», так как само множество — не человек. Примером «необычного» множества является множество всех множеств, так как оно само является множеством, а следовательно, само является собственным элементом.

Можно рассмотреть множество, состоящее только из всех «обычных» множеств, такое множество называется  расселовским множеством. Парадокс возникает при попытке определить, является ли это множество «обычным» или нет, то есть содержит ли оно себя в качестве элемента.

Есть две возможности:

• С одной стороны, если оно «обычное», то оно должно включать себя в качестве элемента, так как оно по определению состоит из всех «обычных» множеств. Но тогда оно не может быть «обычным», так как «обычные» множества — это те, которые себя не включают.

• Остаётся предположить, что это множество «необычное». Однако оно не может включать себя в качестве элемента, так как оно по определению должно состоять только из «обычных» множеств. Но если оно не включает себя в качестве элемента, то это «обычное» множество.

В любом случае получается противоречие.

Читать полностью…

Удовольствие от Х

​​Теорема Брауэра о неподвижной точке

Это теорема из такого раздела математики, как топология, была доказана Лёйтзеном Брауэром. Ее чисто математическое выражение является достаточно абстрактным, но ее можно неожиданным способом применить к разным реальным событиям. Допустим, что у нас есть какая-нибудь картина (к примеру Мона Лиза), и мы можем сделать ее копию. Потом мы можем делать с этой копией что захотим – увеличивать, уменьшать, вращать, сминать, все что угодно. Терема Брауэра о неподвижной точке гласит, что если эту деформированную копию положить на оригинал, то всегда найдется хотя бы одна точка на копии, которая будет находиться ровно над этой же самой точкой изображения на оригинале. Это может быть кусочек уха, рта или глаза Моны, но обязательно такая точка найдется. 

Теорема работает и в трехмерном пространстве. Представьте, что у нас есть стакан воды, в который мы положили ложку и размешивали воду столько, сколько захотим. По теореме Брауэра, всегда будет хотя бы одна молекула воды, которая в итоге окажется ровно на том же самом месте, что и до размешивания. 

Читать полностью…

Удовольствие от Х

Также хотелось бы поделиться с вами ближайшими планами нашего канала:

В скором времени (примерно с начала января) вас ждёт увеличение разнообразия контента, в том числе будет и доступное объяснение учебного материала, которое вы так активно требуете. 😉

На следующей неделе проведём опрос, где вы сможете выбрать, что бы вы хотели видеть на нашем канале.
Спасибо, что остаётесь с нами!

Читать полностью…

Удовольствие от Х

«Существуют три вида лжи: ложь, наглая ложь и статистика». Эта фраза, приписанная Марком Твеном премьер-министру Великобритании Бенджамину Дизраэли, неплохо отражает отношение большинства к математическим закономерностям. Действительно, теория вероятностей порой подкидывает удивительные факты, в которые сложно поверить с первого взгляда — и которые, тем не менее, подтверждены наукой.

А начнем мы наш вояж по порадоксам с «Проблемы Монти Холла»

Читать полностью…

Удовольствие от Х

Доброго времени суток! Сегодня статья о том, как российский математик доказал теорему, которую не могли решить 40 лет.
+ БОНУС. Статья о том, что такое музыка с математической точки зрения. Приятного чтения!
https://ria.ru/science/20171205/1510235219.html
https://ria.ru/science/20171130/1509856779.html

Читать полностью…

Удовольствие от Х

Математическая игра Ландау

Рассказываем вам об интересной игре математика Ландау и об её универсальном решении

Время чтения - 3⃣ минуты

Читать полностью…

Удовольствие от Х

Наглядная демонстрация теоремы Пифагора

Читать полностью…
Subscribe to a channel